紊流理论基础
流体动力学
N-S方程的理论解在雷诺数很小时，与实测结果相当吻合。但是随着雷诺数的增大，理论和实测结果差异会越来越大。例如在管道、渠道种的水流在流动缓慢时和流动湍急时阻力不同。
两个问题
紊流的发生问题，即层流如何转变为紊流紊流的规律问题
Re=ULν
Re=\frac{UL}{\nu}
Re=νUL
研究紊流时通常把紊流运动分成各种长度尺度的运动，小尺度的紊流运动称为小涡，大尺度的紊流运动称为大涡。
（这里只讨论不可压缩流体的紊流运动）
问题一
层流的稳定性及层流向紊流的转捩
下临界雷诺数RecrRe_{cr}Recr：过渡态下限，粘性开始失去控制作用
上临界雷诺数Recr′Re_{cr}^{'}Recr′：过渡态上限，粘性完全失去控制
判断过渡态方法：给定一基本层流，于其上叠加一微小扰动，若扰动随时间衰减，则层流稳定；若扰动随时间增强，则层流不稳定，将转捩为紊流；若随时间既不增强也不衰减，则称为临界态，据此可算出RecrRe_{cr}Recr
实验表明，Recr′Re_{cr}^{'}Recr′值并不固定，RecrRe_{cr}Recr是判别层流向紊流转捩的标准。（对于圆管，Re=2320Re=2320Re=2320）
理论推导：
求解Recr−>F(Re,外干扰)=0Re_{cr}->F(Re,外干扰)=0Recr−>F(Re,外干扰)=0
扰动以波的形式出现并传播，用波数kkk和频率www表征，于是上式变成
F(Re,k,w)=0
F(Re,k,w)=0
F(Re,k,w)=0
此式只是逻辑方程，下面从流体力学基本方程进行推导：
对不可压缩流体，其N-S方程为
叠加微扰流动的速度矢量u~\tilde{u}u~和压强p~\tilde{p}p~，可得
上面两式相减，略去非线性的微扰项，得到微扰控制方程
该式仅限于求解简单情况，比如基本流为平面平行直线运动，Ux=U(y,z)U_x=U(y,z)Ux=U(y,z)，Uy=Uz=0U_y=U_z=0Uy=Uz=0，∂U∂x=0\frac{\partial U}{\partial x}=0∂x∂U=0；微扰场为平面平行场，u~z=0\tilde u_z=0u~z=0，∂u~y∂z=0\frac{\partial \tilde u_y}{\partial z}=0∂z∂u~y=0，∂u~y∂z=0\frac{\partial \tilde u_y}{\partial z}=0∂z∂u~y=0，∂p~∂z=0\frac{\partial \tilde p}{\partial z}=0∂z∂p~=0.
代入上述控制方程，并由流函数的性质
u~x=∂ψ~∂y，u~y=−∂ψ~∂x
\tilde u_x=\frac{\partial \tilde \psi}{\partial y}，\tilde u_y=-\frac{\partial \tilde \psi}{\partial x}
u~x=∂y∂ψ~，u~y=−∂x∂ψ~
ψ~=VLϕeik(x∗−ct∗)
\tilde \psi=VL\phi e^{ik(x^*-ct^*)}
ψ~=VLϕeik(x∗−ct∗)
可以得到如下形式
此式称为O-S方程，式中u∗=u∗(y∗)=U/Vu^*=u^*(y^*)=U/Vu∗=u∗(y∗)=U/V，VVV为基本流特征速度，ccc一般为复数，kkk为波数，Re=VL/νRe=VL/\nuRe=VL/ν.
式的左端由惯性项所产生，右端由粘性项引起. 这里指惯性和粘性对微扰波的作用，区别于基本流.
ReReRe很大时，通常忽略右边粘性项，即求解
此式也称作瑞利（Rayleigh）方程.
问题二
雷诺平均理论
从概率论的角度对紊流的运动量进行平均处理，常用的有：
时间平均，按某指定空间点上紊流运动量各瞬时值在某时段上求平均，适用于平稳随机场空间平均，按某瞬时紊流量在空间各点上的值对某空间区域求平均，适用于均匀随机场系综平均，对相同初始条件、边界条件下大量实验结果求平均，适用于普遍情况
最常用的时间平均：
ξ‾=1T∫−T/2T/2ξdt
\overline \xi=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}\xi{\rm d}t
ξ=T1∫−T/2T/2ξdt
式中，ξ\xiξ为随机变量的瞬时值，ξ‾\overline \xiξ是ξ\xiξ的时均值，TTT为测量所取得时间段，TTT的大小以所取时均值不受随机变动的影响为准.ξ′=ξ−ξ‾\xi^{'}=\xi-\overline \xiξ′=ξ−ξ为脉动量，体现随机量的不规则变动，可以认为它是由各种尺度的涡的作用所组合而成.
雷诺时均法则
推导：
优点：简单易行
缺点：湮没重要特征，完全不能反映大涡的特征
雷诺方程
一般的不可压缩流体的N-S方程组为
∂ui∂t+uk∂ui∂xk=fi−1ρ∂p∂xi+ν∂2ui∂xk∂xk∂ui∂xi=0
\frac{\partial u_i}{\partial t} +u_k\frac{\partial u_i}{\partial x_k}=f_i-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_k\partial x_k}\\
\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0
∂t∂ui+uk∂xk∂ui=fi−ρ1∂xi∂p+ν∂xk∂xk∂2ui∂xi∂ui=0
对N-S方程组进行时均运算，密度和质量力作为非随机量，得到
ps：
uk∂ui∂xk‾=(uˉk+uk′)∂ui∂xk‾=uˉk∂uˉi∂xk+uk′∂ui∂xk‾=uˉk∂uˉi∂xk+uk′∂(uˉi+ui′)∂xk‾ (uˉk′∂uˉi∂xk=0)=uˉk∂uˉi∂xk+uk′∂ui′∂xk‾
\overline{u_k\frac{\partial u_i}{\partial x_k}}=\overline{(\bar u_k+u_k')\frac{\partial u_i}{\partial x_k}}=\bar u_k\frac{\partial \bar u_i}{\partial x_k}+\overline{u_k'\frac{\partial u_i}{\partial x_k}}\\
=\bar u_k\frac{\partial \bar u_i}{\partial x_k}+\overline{u_k'\frac{\partial (\bar u_i+u_i')}{\partial x_k}}\ \left({\bar u_k'\frac{\partial \bar u_i}{\partial x_k}}=0\right)\\
=\bar u_k\frac{\partial \bar u_i}{\partial x_k}+\overline{u_k'\frac{\partial u_i'}{\partial x_k}}
uk∂xk∂ui=(uˉk+uk′)∂xk∂ui=uˉk∂xk∂uˉi+uk′∂xk∂ui=uˉk∂xk∂uˉi+uk′∂xk∂(uˉi+ui′) (uˉk′∂xk∂uˉi=0)=uˉk∂xk∂uˉi+uk′∂xk∂ui′
将第二项移到方程右边，可以得到称为雷诺应力（也称为紊流附加应力），记为−ρui′uk′‾-\rho\overline{u_i'u_k'}−ρui′uk′，表示由于紊流引起的平均动量流.由于它是对称的二阶张量，因此雷诺方程组比N-S方程组多出六个未知量.这里涉及到雷诺方程组的封闭问题，至今未能完美解决.
紊流能量方程
单位时间单位体积的动能K=ρuiui/2K=\rho u_i u_i/2K=ρuiui/2
利用连续性方程和N-S方程可得（以及分部积分）
此式为紊流瞬时流动的总能量方程.等式左端为单位体积流体的动能变化率，右端第一项为单位体积流体的质量力功率，第二项为单位体积流体的压力功率梯度，第三项为单位体积流体的粘性力功率梯度，第四项为单位体积流体的粘性应力通过变形而做功的功率（机械能耗散率）.
等式左端还可以写成dKdt=∂K∂t+uk∂K∂xk\frac{{\rm d}K}{{\rm d}t}=\frac{\partial K}{\partial t}+u_k\frac{\partial K}{\partial x_k}dtdK=∂t∂K+uk∂xk∂K
对上式取时间平均,
这就是不可压缩流体单位时间、单位体积的紊流时均的总能量方程.